(در فایل دانلودی نام نویسنده موجود است)

تکه هایی از متن پایان نامه به عنوان نمونه :

(ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل است)

چکیده:

انتقال حرارت جابجایی آزاد یا طبیعی یکی از پدیده­های باکاربرد بسیاردر صنعت و در محیط پیرامون بشریت است. این پدیده به واسطه­ی کاربرد گسترده­ی آن مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفته است و محققین را بر آن داشته تا جریان جابجایی آزاد را بر روی هندسه­هایی چون صفحه، گوه، بیضی، استوانه، مخروط، کره دنبال کنند. در این میان با توجه به اتفاقاتی که جریان تا رسیدن به حالت دایم طی می­ کند و در کل اهمیت جریان در حالت گذرا این حالت مورد توجه محققین قرار گرفته است که در این میان جریان گذرا اطراف برخی هندسه­ها از جمله کره کمتر مورد توجه قرار گرفته است. بنابراین در این پایان نامه به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن میدان مغناطیسی، با در نظر گرفتن جذب و تولید حرارت، با در نظر گرفتن لزجت متغیر با دما و با در نظر گرفتن هدایت حرارتی متغیر با دما پرداخته شده است. از طرفی یکی از بروزترین و کاراترین روش­های عددی ترکیب مربعات دیفرانسیل تکه‏ای (IDQ) با مربعات دیفرانسیل(DQ) می­باشد. به علت نوپا بودن این روش تا کنون از آن در حل عددی مسایل انتقال حرارت هدایت گذرا استفاده شده است. در این پایان نامه جریان­های گذرا اطراف کره با بهره گرفتن از این روش عددی بررسی شده است.

کلید واژه:

مربعات دیفرانسیل، مربعات دیفرانسیل تکه­ای، جابجایی آزاد گذرا، کره، لایه­ی مرزی

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                               صفحه

فصل اول: مقدمه

1.1  مقدمه…………………………………………………………………………………………………….. 2

2.1   مروری بر کارهای گذشته…………………………………………………………………………… 4

3.1  اهداف پایان نامه ……………………………………………………………………………………… 15

فصل دوم:

روش مربعات دیفرانسیل و  روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای

1.2- مقدمه…………………………………………………………………………………………………. 17

2.2- انتگرال­گیری مربعی………………………………………………………………………………… 18

3.2- مربعات دیفرانسیلی…………………………………………………………………………………. 19

4.2- محاسبه­ی ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی اول…………………………………………………….. 19

1.4.2- تقریب بلمن………………………………………………………………………………………. 19

1.1.4.2- تقریب اول بلمن……………………………………………………………………………… 19

2.1.4.2- تقریب دوم بلمن……………………………………………………………………………… 20

2.4.2- تقریب کلی شو………………………………………………………………………………….. 21

5.2- محاسبه­ی ضرایب وزنی مشتقات مرتبه­ی دوم و بالاتر……………………………………….. 23

1.5.2-ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی دوم………………………………………………………………. 23

1.1.5.2- تقریب کلی شو……………………………………………………………………………….. 23

2.5.2- رابطه­ بازگشتی شو برای محاسبه­ی مشتق مراتب بالاتر…………………………………. 24

3.5.2- تقریب ضرب ماتریسی…………………………………………………………………………. 26

6.2- اعمال شرایط مرزی………………………………………………………………………………… 27

7.2- انواع انتخاب فواصل بین نقاط……………………………………………………………………. 29

8.2- مربعات دیفرانسیل تکه­ای………………………………………………………………………….. 31

9.2- بررسی کارایی روش مربعات دیفرانسیل……………………………………………………….. 32

1.9.2- جریان جابجایی آزاد دایم بر روی کره دما ثابت………………………………………… 32

1.1.9.2- مدل­سازی ریاضی جریان…………………………………………………………………… 32

2.1.9.2- گسسته­سازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل……………………….. 35

3.1.9.2- نتایج……………………………………………………………………………………………… 36

فصل سوم:

جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت

1.3- بررسی جریان جابجایی آزادگذرا اطراف کره­ی همدما……………………………………. 40

1.1.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 40

2.1.3- گسسته­سازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل…………………………… 43

3.1.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 44

2.3- بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت در حضور میدان مغناطیسی… 44

1.2.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 47

2.2.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 49

3.3- بررسی اثر تولیدو جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت. 50

1.3.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 50

2.3.3- نتایج……………………………………………………………………………………………….. 51

4.3- بررسی اثر لزجت متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت…… 53

1.4.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 54

2.4.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 55

5.3- بررسی اثر هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت       56

1.5.3- مدل­سازی ریاضی جریان…………………………………………………………………….. 57

2.5.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 59

6.3- بررسی اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت       60

1.6.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 60

2.6.3- نتایج……………………………………………………………………………………………… 63

7.3- بررسی اثر لزجت و هدایت  حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت  تحت میدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت………………………………………………………………… 63

1.7.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 63

2.7.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 67

فصل چهارم:

بحث و نتیجه­گیری و پیشنهادات

1.4- بحث و نتیجه­گیری……………………………………………………………………………….. 69

2.4- پیشنهادات…………………………………………………………………………………………… 70

فهرست مراجع………………………………………………………………………………………………. 72

پیوست­ها

جداول………………………………………………………………………………………………………… 89

اشکال و نمودارها…………………………………………………………………………………………… 96

فهرست جداول:

جدول 1.2 : بررسی استقلال روش از تعداد گره­ها در راستای y در x=0 .

جدول 2.2: بررسی استقلال روش از تعداد گره­ها در راستای x در x=90 .

جدول 3.2: مقایسه ی روش DQ-FD با روش  DQ-DQ.

جدول4.2: بررسی نتایج حاصل از  با بهره گرفتن از DQM .

جدول 5.2: بررسی نتایج حاصل از  با بهره گرفتن از DQM .

جدول 1.3: بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای y در حالت دایم کد گذرا در x=0 .

جدول 2.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای x در حالت دایم کد گذرا در  x=90 .

جدول 3.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای در حالت دایم کد گذرا در x=90 .

جدول 4.3 : مقایسه ی روش DQ_IDQ با روش  DQ_DQ.

فهرست اشکال:

شکل 1.2: انتگرال­گیری مربعی

شکل 2.2: مقایسه­ توزیع چبشف-گوس-لوباتو با توزیع یکنواخت در شبکه­ی 8*15

شکل2.3: چگونگی برخورد روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای با یک تابع زمان­مند دلخواه

شکل 4.2: نحوه­ی تکه تکه­کردن دامنه­ی محاسباتی در روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای

شکل 5.2: نمایی از مسیله مورد مطالعه

شکل6.2 : اثر تغییر زاویه برروند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در لایه ی مرزی با

شکل1.3: بررسی روند انتقال حرارت گذرا تا رسیدن به حالت دایم

شکل2.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با  در با

شکل3.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در

شکل4.3 : اثر برروند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در

شکل5.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو

شکل6.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با

شکل7.3 : اثر  بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در  با

شکل8.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با

شکل9.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو

شکل10.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با

شکل11.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با

شکل12.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با

شکل13.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو

 

شکل14.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با

شکل15.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با

شکل16.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با

شکل17.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو

شکل18.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با

شکل19.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با

شکل20.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با

شکل21.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در  با

شکل22.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)در  با

شکل23.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب) در حالت دایم در با

شکل24.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب) در حالت دایم در با

شکل25.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در حالت دایم با

شکل26.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با

شکل27.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ج) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (د)  در حالت دایم در با

شکل28.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ج) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (د)  در حالت دایم در با

شکل29.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د)  در با

شکل30.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د)  در با

شکل31.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د)  در حالت دایم با

شکل32.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د)  در حالت دایم با

فهرست علایم:

a
شعاع کره
 
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی اول
 
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی دوم
 
میدان مغناطیسی
 
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی سوم
 
گرمای ویژه در فشار ثابت
 
سرعت بدون بعد
 
میدان جاذبه
 
عدد گراشف
H
پارامتر تولید و جذب حرارت
 
هدایت حرارتی
M
تعداد گره­ها در جهت y
 
تعداد گره­ها در جهت x
 
پارامتر هیدرومغناطیس
 
تعداد گره­ها در جهت
 
عدد پرانتل
 
نرخ تولید یا جذب حرارت حجمی
 
ثابت تولید یا جذب حرارت
T
زمان دارای بعد
t”
زمان بدون بعد
T
دمای سیال
 
سرعت بدون بعد در راستای x
U
مولفه­ی سرعت در راستای X
 
سرعت  بدون بعد در راستای y
V
مولفه­ی سرعت در راستای Y
x
مختصات بی­بعد شده در راستای سطح کره
X
مختصات در راستای سطح کره
y
مختصات بی­بعد شده در راستای عمود بر سطح کره
Y
مختصات در راستای عمود بر سطح کره
 
ضریبی که خاصیت هدایت حرارتی را به اختلاف دما مرتبط می­ کند
 
ضریب انبساط حرارتی
 
ضریب که لزجت را به اختلاف دما مرتبط می­ کند
 
پارامتر بدون بعد در هدایت حرارتی
 
پارامتر بدون بعد در لزجت
 
لزجت دینامیکی سیال
 
لزجت سینماتیکی سیال
 
دمای بدون بعد
 
چگالی سیال
 
ضریب هدایت الکتریکی سیال
 
زمان بدون بعد
 
تابع جریان
 
پایین نویس
 
مقادیر در فاصله­ی بسیار دور از سطح کره
W
مقادیر درسطح کره
 
بالانویس
 
نشانگر ماتریس ضرایب اصلاح شده
مقدمه:

یکی از پدیده­های انتقال حرارت، جابجایی آزاد یا طبیعی است. تغییر چگالی­ای که بواسطه­­ی گرادیان دما ایجاد می­شود منجر به جاری شدن سیال می­گردد. حرکت سیال در جابجایی آزاد در مجاورت یک سطح در نتیجه­ی نیروهای شناوری است که به واسطه­ی گرادیان دما  اعمالی بر سیال در نزدیکی سطح و تغییرات چگالی سیال می­باشد. نیروهای شناوری که موجب جریان­های جابجایی آزاد می­شوند را نیروهای حجمی[1] می­گویند. تاریخچه­ی تحقیقات اولیه­ی که این جریان را در نظر گرفتند، به یک صده قبل باز می­گردد. از آن زمان تاکنون داده­ها، روابط و تحلیل­هایی که بر این جریان حاکم می­باشند با رشد فوق­العاده­ی افزایش پیدا کرده­اند. علاقه­ بی­شماری که بشریت به این پدیده نشان می­دهد، بازتاب نیاز فوق­العاده­ی است که بشر به این پدیده­ جالب و حیاتی احساس می­کرده است. اهمیت و تنوعی که در بکارگیری این پدیده در صنعت و محیط اطراف به چشم می­آید، نشان بر کاربرد گسترده­ی این پدیده دارد. این پدیده گاه به تنهایی و گاه با ترکیب شدن با سایر پدیده­های انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.

از طرفی با توجه به اینکه سیستم­های واقعی فیزیکی یا مسائل مهندسی که بواسطه­ی این پدیده ایجاد می­شوند به کمک معادلات پاره­ای توصیف می­شوند، در اکثر حالت­ها، حل بسته­ی[2] آن­ها فوق­العاده سخت است. بدین سبب، روش­های تقریبی عددی به صورت گسترده­ای برای حل این معادلات، مورد استفاده قرار می­گیرند. بیشترین روش­های عددی که برای حل این­گونه مسائل به کار گرفته می­شوند، روش­های المان محدو­د[3]، تفاضل محدود[4] و حجم محدود[5] می­باشد این سه روش جز روش­های مرتبه­ی پایین طبقه ­بندی می­شوند. روش­های مرتبه­ی پایین برای بدست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گره­های محاسباتی بالایی هستند. در مسایلی که چند بعد محاسباتی دارد نیاز به ظرفیت محاسباتی بالا برای حفظ دقت محاسبات بیشتر نمود پیدا می­ کند. بنابراین محققین تلاش­هایی به منظور دست­یابی به روش­هایی که با تعداد گره­های محاسباتی کم، منجر به نتایجی با دقت بالا گردند را آغاز کردند. از این روش­ها تحت عنوان روش­های مرتبه­ی بالا یاد می­شود. از جمله­ی ماحصل این تلاش­ها می­توان به روش­های طیفی[6] و مربعات دیفرانسیل[7] اشاره کرد. همان­گونه که گفته شد یکی از مزایای این روش دست­یابی به دقت محاسباتی مناسب در عین کم بودن تعداد گره­های محاسباتی است.

روش مربعات دیفرانسیل برای اولین بار توسط ریچارد بلمن و همکارنش در اوایل دهه­ی 70 میلادی به کار گرفته شده است. روش مربعات دیفرانسیل برگرفته شده از روش انتگرال­گیری مربعی[8] می­باشد. در این روش مقدار مشتق تابع در هر نقطه را با بهره گرفتن از مجموع حاصل­ضرب مقادیر تابع در مقادیر وزنی مرتبط در طول راستای مورد نظر تقریب می­زنند. نکته­ی کلیدی در بکار بردن این روش، تعیین ضرایب وزنی است. بدلیل محدودیت­هایی که در اعمال روش­های اولیه­ی تعیین ضرایب وزنی وجود داشت، این روش تا سال­های متمادی کمتر مورد استفاده قرار گرفت. تا این­که پژوهش­هایی که محققین در اواخر دهه­ی80 و اوایل دهه­ی 90 به منظور پیدا کردن ضرایب وزنی ساده­تر انجام دادند، منجر به معرفی این روش به عنوان ابزار عددی قدرتمندی در دو دهه­ی اخیر شد.

با افزایش استفاده از این روش در سالیان اخیر محققین بنا به نیازی که احساس می­کردند، روش­های دیگری را از روش مربعات دیفرانسیل استخراج کردند که یکی از این روش­ها مربعات دیفرانسیل تکه­ای[9] است. این روش در مسایلی که تغییرات گرادیان متغییری شدید و یا در مسایلی با شرایط مرزی متغیر، کارایی بالایی دارد. ایده­ی روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای در سال 2006 در مدل­سازی امواج در آب­های کم عمق بکار گرفته شد. اصول این روش بر پایه­ تکه تکه کردن دامنه­ی محاسباتی بر زیر دامنه­ها و اعمال روش مربعات دیفرانسیل بر هر زیر دامنه است.

در این پایان نامه جریان جابجایی آزاد گذرا حول کره با ترکیب دو روش مربعات دیفرانسیل و مربعات دیفرانسیل تکه­ای مورد بررسی قرار گرفته شده است.

2.1-  مروری بر کارهای گذشته:

جابجایی آزاد بدلیل کاربرد گسترده­ی که در صنعت و در محیط پیرامون بشر دارد بسیار مورد توجه قرار گرفته است. از طرفی با توجه به معادلات پاره­ای حاکم بر این پدیده و مشکل بودن ارایه­ی یک حل تحلیلی برای معادلات حاکم بر این جریان، بشر مجبور به استفاده از روش­های عددی برای حل این جریان شده است. از طرفی، حل عددی معادلات حاکم بر جابجایی آزاد دارای پیچیدگی­هایی است. علت این امر وابسته بودن معادله­ی مومنتم به معادله­ی انرژی از طریق نیروی بویانسی است و بنابراین می­بایست معادله­ی انرژی و مومنتم باید همزمان حل شوند. از طرفی یکی از عوامل اثر گذار در پیچیده­تر شدن معادلات هندسه­ی است که جریان بر روی بررسی می­شود. به عنوان مثال جریان بر روی کره نسبت به جریان برروی هندسه­های چون صفحات اعم از افقی، عمودی یا مایل و حتی استوانه­های با همین وضعیت پیچیده­تر می­باشد.

در ادامه تعدادی از تحقیقاتی که جریان بر روی هندسه­هایی چون کره را بررسی کرده­اند، معرفی می­شوند. گارنر و گرفتن ]1[ به بررسی اثر انتقال جرم بر روی کره­ی غیر متخلخل پرداختند. آماتو و چی ]2[ به بررسی اثر جابجایی آزاد اطراف کره­ی غوطه­ور در آب پرداختند. برومهام و میهو]3[ جریان جابجایی آزاد هوا را بر روی کره بررسی کردند.  گیولا و کورنیش ]4[ با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود[10] به بررسی جریان و انتقال حرارت اطراف کره پرداختند. سینگاه و حسن ]5[ به بررسی جریان جابجایی آزاد در اطراف کره با گراشف­های پایین پرداختند.  هیوانگ و چن ]6[با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود اثر مکش و دمش بر روی کره را بررسی کردند. چن و چن ]7[جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی اطراف کره و استوانه با بهره گرفتن از روش رانگ کوتا[11] مرتبه­ی چهار مورد مطالعه قرار دادند. جعفرپور و یووانوویچ  ]8[ با بهره گرفتن از سری­ها یک حل نیمه تحلیلی برای جریان جابجایی آزاد بر روی کره­ی همدما ارائه دادند. جیا و گوگس ]9[ جریان جابجایی آزاد اطراف کره­ی همدما را بررسی کردند. نظر و همکاران ]10[جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار[12] در اطراف کره با شار ثابت مطالعه کردند. ایشان با استفاده روش عددی کلرباکس[13] به حل این مساله پرداختند. نظر و همکاران ]11[ در ادامه کار قبل جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار در اطراف کره­ی همدما با بهره گرفتن از همان روش قبل بررسی کردند. مولا و همکاران ]12[ به بررسی اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد در میدان مغناطیسی اطراف کره پرداختند. چنگ ]13[ انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد اطراف کره­ در مجاورت سیال میکروپولار را با بهره گرفتن از روش جمع­آوری اسپیلاین مکعبی[14]  بررسی کرد. بگ و همکاران ]14[ به بررسی اثر جذب و تولید حرارت بر جابجایی آزاد اطراف کره درون میدان مغناطیسی که در محیط متخلخلی قرار دارد، پرداخته­اند.

تمامی تحقیقات بیان شده، جریان جابجایی آزاد اطراف کره در حالت دایم را بررسی کرده­اند. با توجه به اهمیت جریان در مدت زمانی که جریان به حالت دایم برسد و واقعی­تر بودن جریان گذرا این جریان مورد توجه پژوهشگرانی واقع شد. از جمله تحقیقاتی عددی یا آزمایشگاهی که جریان خارجی گذرا بر روی هندسه­های مختلف بررسی کرده­اند، می­توان به کارهای ]15-23[ اشاره کرد. از جمله پژوهش­هایی که به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف هندسه­هایی همچون کره پرداخته­اند می­توان به کارهای پژوهشگران زیر اشاره کرد. اینگهام و همکاران ]24[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح همدمای سه بعدی در گراشف­های بالا پرداختند. یان و همکاران ]25[ به