­ لایه­های سیاه گرانش گوس- بونه در حضور

دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی

 

 

 

در این رساله، با در نظرگرفتن دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی، به بررسی جواب­های لایه­ی سیاه در گرانش گوس- بونه می­پردازیم. این دو کلاس از الکترودینامیک بورن- اینفلد گونه، که به الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی و نمایی معروفند دارای خصوصیات جالب توجه در مطالعه­ی میدان الکترومغناطیسی و نیز بررسی هندسی فضازمان می­باشند. پس از مطالعه­ی خصوصیات هندسی فضازمان، به بررسی کمیت­های پایا و ترمودینامیکی پرداخته و تاثیرات حضور این میدان غیرخطی را بررسی می­کنیم. در نهایت به بررسی قانون اول ترمودینامیک خواهیم پرداخت.

 

 

 

 

فهرست

 

عنوان                                                                                                                         صفحه

فصل اول. 1

مقدمه. 1

 

فصل دوم. 6

نظریه­ها­ی الکترودینامیک غیرخطی و معرفی دو کلاس جدید. 6

2-1  نظریه­ی خطی الکترودینامیک: نظریه­ی ماکسول. 7

2-2  نظریه­ی غیرخطی الکترودینامیک: نظریه­ی بورن- اینفلد(BI) 9

2-3  نظریه­ی الکترودینامیک غیرخطی: نظریه­ی توانی ناوردای ماکسول (PMI) 11

2-4  نظریه­ی غیرخطی الکترودینامیک: نظریه­ی لگاریتمی(LNEF) 14

2-5  نظریه­ی غیرخطی الکترودینامیک: نظریه­ی نمایی(ENEF) 16

 

فصل سوم. 20

نسبیت عام، گرانش گوس- بونه، هندسه و ترمودینامیک سیاه­چاله­ها 20

 

3-1    نسبیت عام و اصول اینشتین.. 21

3-1-1  اصل ماخ. 22

3-1-2  اصل هم­ارزی.. 23

3-1-3  اصل هموردایی عام. 23

3-1-4  اصل جفت شدگی گرانش کمینه. 24

3-1-5  اصل تناظر. 24

3-2  هندسه و متریک.. 24

3-3  تانسور اینشتین.. 26

3-4   گرانش مشتقات بالاتر. 28

3-5   گرانش لاولاک.. 30

3-6  کنش مرزی.. 33

3-7   بردارهای کیلینگ و تقارن­های فضازمان. 34

3-8  سیاه­چاله چیست؟. 36

3-9  خصوصیات هندسی سیاه­چاله. 37

3-10  ترمودینامیک سیاه­چاله­ها 38

3-10-1  چهار قانون مکانیک سیاه­چاله­ها 39

3-10-2  دما 40

3-10-3  آنتروپی.. 41

3-10-4  بار الکتریکی.. 43

3-10-5  پتانسیل الکتریکی.. 44

3-10-6  سرعت زاویه­ای.. 44

3-11  روش کانترترم در گرانش… 45

 

فصل چهارم. 47

جواب­های لایه­ی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس جدید از الکترودینامیک غیرخطی   47

4-1  معادلات میدان. 48

4-2 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی.. 50

4-3 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی.. 56

4-4  بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاه­چاله گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی   58

4-4-1  کمیت­های ترمودینامیکی و پایا 59

4-4-2  انرژی به­عنوان تابعی از کمیت­های پایا 61

4-5 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاه­چاله گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی   62

4-5-1 کمیت­های ترمودینامیکی و پایا 62

4-5-2 انرژی به­عنوان تابعی از کمیت­های پایا ………………………………………………64

 

فصل پنجم. 66

نتیجه­گیری و پیشنهادات.. 66

5-1 خلاصه و نتیجه­گیری.. 67

5-2 پیشنهادات.. 71

 

پیوست …………………………………………………………………………………………………………………72

مراجع. 73

 

 

 

 

فهرست جدول­ها و نمودارها

 

شکل 2-1: نمودار تابع  به ازای پارامترهای غیرخطی مختلف………………………………………..13

شکل 2-2: نمودار تابع  برحسب  به ازای ……………………………………..18

جدول 1: مقدار  برای  به ازای مقادیر مختلف های کوچک…………..19

شکل 5-1: نمودار تابع  برحسب ……………………………………………………………………….60

 

 

فصل اول
مقدمه
 

پس از معرفی مکانیک نیوتنی، دانشمندان زیادی از این نظریه به عنوان مکانیک سماوی در مطالعه و شناخت کیهان استفاده کردند. در همان سال­های اولیه مطالعه­ی گرانش­های قوی و تأثیرات آن بر سایر اجرام مورد توجه قرار گرفت.

نخستین بار در سال 1784 میشل[1] در مقاله­ای سرعت فرار[2] را با اطلاعات آن روز محاسبه کرد  [1] و در سال 1796 لاپلاس[3] نیز همان نظریه­ی میشل را دوباره مطرح کرد که با توجه به اینکه مقدار دقیقی برای سرعت نور محاسبه نشده بود، آنچنان که می­بایست مورد توجه قرار نگرفت. در اواخر قرن 19 سرعت نور کاملاً معلوم و اندازه­گیری شد و از طرفی در سال 1915 اینشتین نظریه­ی نسبیت عام را برای تشریح مبانی هندسی برهم­کنش­های گرانشی، که منجر به انحنای فضازمان توسط ماده یا انرژی می­شد، مطرح کرد و نشان داد که گرانش روی مسیر نور نیز تأثیر می­گذارد.

حقیقت­هایی در مورد گرانش وجود دارد که نقش آن‌را در پدیده­های فیزیکی نمایان می­کند، از جمله اینکه: در نظریه­ی نیوتنی خورشید نیروی گرانشی به زمین وارد می­کند و از سوی دیگر زمین در پاسخ به این نیرو به دور خورشید می­گردد. در نسبیت عام جرم خورشید انحنایی در فضازمان ایجاد می­کند و زمین در مسیری مشخص در این فضازمان منحنی حرکت می­کند. به عبارت دیگر در نظریه نیوتنی، گرانش برهم کنش از راه دور بین جرم­هاست اما در نسبیت عام، گرانش به صورت انحنای هندسی فضازمان توصیف می­شود.

در سال 1916 چند ماه پس از اینکه اینشتین معادلات خود را ارائه کرد، ­شوارتزشیلد نخستین جواب دقیق معادلات اینشتین را یافت ]2[ و اظهار داشت که از دیدگاه نظری سیاه­چاله­ها وجود دارند. سپس دانشمندان با در نظر گرفتن این سیاه­چاله در مبدأ مختصات، دریافتند که در فاصله­ی مشخصی از آن نور هم نمی­تواند از دام سیاه­چاله خارج شود. به این فاصله، شعاع شوارتزشیلد و به ابر سطحی که در این فاصله قرار دارد، افق رویداد سیاه­چاله­ی شوارتزشیلد می­گویند.

اینشتین معادلات نسبیت عام را به صورت یک رابطه­ی تانسوری به شکل زیر ارائه نمود:

که در آن  یک ثابت عددی مثبت موسوم به ثابت گرانش اینشتین می­باشد. این معادله تأثیرات ماده بر انحنای فضازمان را نشان می­دهد. در طرف راست معادله­ی (1-1)، تانسور  همان تانسور انرژی- تکانه است که معرف میدان­های مادی مختلف می­باشد. طرف چپ این معادله که نقش هندسه­ی فضازمان را دارد، توسط تانسور اینشتین  معرفی می­شود که این تانسور به صورت زیر تعریف می­شود:

(1-2)

که در آن  و  به ترتیب تانسور و اسکالر ریچی می­باشند. اینشتین فقط مشتقات مرتبه­ی اول و دوم متریک را در معادلات خود در نظر گرفت و بعدها برای توضیح جهان شتابدار ثابت کیهان­شناسی  را نیز در معادله وارد کرد.

در سال 1971 لاولاک[4] با درنظر گرفتن وابستگی خطی به مشتقات مرتبه­ی دوم متریک، معادلات گرانش در ابعاد بیش از 4- بعد را معرفی و به­جای تانسور اینشتین یک تانسور عمومی­تر در معادلات گرانشی ارائه نمود. وی توانست به لاگرانژی که تعمیمی بود از لاگرانژی اینشتین – هیلبرت[5] دست پیدا کند [3-5]. در فصل سوم در مورد گرانش لاولاک به اختصار بحث خواهیم کرد. ما در این رساله سعی بر این داریم که در طرف چپ معادلات میدان، به جای استفاده از گرانش اینشتین از گرانش مرتبه­ی دوم لاولاک (گرانش گوس- بونه) استفاده کنیم.

همان‌طور که گفته شد، در سمت راست معادله­ی (1-1)، تانسور انرژی- تکانه­ی مربوط به میدان­های مادی مختلف قرار دارد. یکی از مهم‌ترین این میدان­ها، میدان الکترومغناطیسی می­باشد. معادلات ماکسول به عنوان یک میدان خطی الکترومغناطیسی، از معروف‌ترین این میدان­هاست.

پس از روی کار آمدن نظریه­ی نسبیت عام، با توجه به اینکه این نظریه یک تئوری غیرخطی گرانش می­باشد، دانشمندان علاقه­مند به نظریات غیرخطی شدند.

معادلات ماکسول چگونگی ایجاد میدان­های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریان­های الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر زمانی میدان دیگر را توصیف می‌کنند. اما این معادلات در حالاتی خاص دارای ایراداتی است که می­توان به نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات باردار نقطه­ای در محل آن‌ها اشاره نمود.

تئوری میدان­های غیرخطی به این دلیل که اغلب سیستم­های فیزیکی موجود در طبیعت ذاتاً غیرخطی هستند بسیار مورد علاقه بود و کنش­های غیرخطی در تئوری ابرریسمان نیز مطرح شدند [6-10]. اولین بار در سال 1934 الکترودینامیک غیر خطی توسط بورن و اینفلد ارائه شد ]11[ که انگیزه­ی آن‌ها از ارائه­ی چنین میدانی محاسبه­ی مقدار متناهی برای خود انرژی ذرات باردار نقطه­ای گونه بود. سپس هافمن در سال 1935 نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن و اینفلد پیوند داد و یک جواب متقارن کروی که نشان دهنده­ی میدان گرانشی یک جسم باردار باشد را معرفی کرد و جواب­های سیاه­چاله­ای آن را مورد بررسی قرار داد ]12[.

از سوی دیگر در نظریه­ی ماکسول، میدان الکتریکی یک ذره­ی باردار نقطه­ای تابعی از ابعاد فضازمان بوده و فقط در 4- بعد عکس مجذوری می­باشد. اگر بخواهیم معادله الکترومغناطیس صرف­نظر از ابعاد فضازمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم. نظریه­ی مناسب جهت برآورده کردن این خاصیت، نظریه­ی توانی ناوردای ماکسول[6] (PMI) نام دارد که در بسیاری از مقالات در حوزه­ی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. در این رساله صرف­نظر از نظریه­های بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول دو کلاس جدید از میدان­های الکترومغناطیس غیرخطی را معرفی می­کنیم و در مورد خصوصیات آن‌ها بحث خواهیم کرد. همچنین با در نظر گرفتن این دو کلاس غیرخطی به­جای میدان ماکسول در سمت راست معادله­ی (1-1) جواب­های سیاه­چاله­ای آن را بدست خواهیم آورد.